Gleichheit und Ungleichheit – zweistellige Relationen

Durch eine zweistellige Relation wird ein Objekt mithilfe eines zweiten Objektes bestimmt. Beispiel: „… ist so rot wie … .“ ist eine zweistellige Relation, durch die ein Apfel mithilfe eines zweiten Objekts, einer Erdbeere, bestimmt wird: „Der Apfel ist so rot wie eine Erdbeere.“

Eine Relation zwischen zwei Vergleichselementen ist entweder eine Gleichheits- oder eine Ungleichheitsrelation:[2]

- Gleichheitsrelationen sind „Äquivalenzrelationen, das sind beliebige zweistellige Relationen R auf einem Gegenstandsbereich, sofern sie nur die Eigenschaften der Reflexivität und Symmetrie und Transitivität besitzen.“[3]

- Ungleichheitsrelationen sind zweistellige Relationen, die die Eigenschaften der Irreflexivität oder Asymmetrie oder Intransitivität besitzen.[4]

Unter welchen Bedingungen wird Gleichheit, und unter welchen wird Ungleichheit erkannt? Die Extensität bzw. Intensität, ab der ein Unterschied zwischen zwei Vergleichsobjekten gerade eben dem Bewusstsein gegeben ist, nennt Fechner „Unterschiedsschwelle“. Liegen Extensität oder Intensität unter dieser Schwelle, dann wird Gleichheit erkannt; liegen sie darüber, wird Ungleichheit erkannt. Die für das Erkennen von Ungleichheit erforderliche Extensität bzw. Intensität hängt von der bereits gegebenen Extensität bzw. Intensität der beiden Vergleichsobjekte ab: Das sogenannte Webersche Gesetz „besagt, daß der Reizzuwachs, der eine eben merkliche Verstärkung der Empfindung bewirkt, in einem konstanten Verhältnis zu dem schon vorhandenen Reizbetrag besteht, die relativen Unterschiedsschwellen also konstant bleiben.“[5] Wenn z. B. eine Ungleichheit in der Helligkeit erkannt wird, sobald zu 100 Kerzen eine weiter hinzukommt, so müssen bei 200 Kerzen zwei, bei 300 Kerzen drei Kerzen hinzukommen, um eine Ungleichheit in der Helligkeit erkennen zu können.[6] Für jede der Sinnesdimensionen kann man eine solche Unterschiedsschwelle bestimmen.

 

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[1] Vgl. Carnap, R., Welt, 1998; er geht davon aus, „daß es für die Wissenschaft möglich und notwendig ist, sich auf Strukturaussagen zu beschränken.“ (S. 21; Kursiv nicht im Original) Strukturaussagen zählen zu den Beziehungsbeschreibungen (vgl. Carnap, R., Welt, 1998, S. 11-12), also zu den zweistelligen Relationen.

[2] Vgl. Husserl, E., Arithmetik, 1970: „Eine Vergleichung kann entweder das Ergebnis liefern, daß die betrachteten Inhalte gleich sind oder daß sie verschieden, d. h. nicht gleich sind.“ (S. 55, Sperrung im Original). Für Mill, J. St., System, 1981, S. 70-72, sind Gleichheit und Ungleichheit Endpole eines Ähnlichkeitskontinuums. Vgl. auch Meinong, A., Relationstheorie, 1971, S. 73-85, der eine Erklärung für Mills Annahmen skizziert.

[3] Lorenz, K., Relation, 1976, Sp. 145. „Reflexivität“ meint im Gegensatz zur „Irreflexivität“, dass ein Objekt die Relation auf sich selbst beziehen kann. Beispiel: Ich bin so alt wie Du. Die Relation „ist so alt wie“ ist reflexiv, denn ich kann diese Relation auf mich selbst beziehen: Ich bin so alt wie ich. „Symmetrie“ meint im Gegensatz zur „Asymmetrie“, dass die Relation in beide Richtungen gilt. Beispiel: Max ist der Bruder von Alfred. Die Relation „ist der Bruder von“ gilt auch umgekehrt: Alfred ist der Bruder von Max. „Transitivität“ meint im Gegensatz zur „Intransitivität“, dass eine Relation auch für das nächste Objekt gilt (vgl. Carnap, R., Welt, 1998, S. 13). Beispiel: Alfred ist der Vorgesetzte von Karl; Karl ist der Vorgesetzte von Norbert. Die Relation „ist der Vorgesetzte von“ ist transitiv, weil sie auch für das nächste Objekt gilt: Alfred ist der Vorgesetzte von Norbert.

[4] Man kann – wenn man davon ausgeht, dass die Merkmalsausprägungen dieser drei Variablen frei kombinierbar sind – acht Relationsklassen unterscheiden: die Gleichheitsrelationen sind die erste Klasse; die Ungleichheitsrelationen verteilen sich auf die übrigen sieben Relationsklassen.

[5] Häcker, H./Stapf, K. H., Webersches Gesetz, 1998, S. 943.

[6] Vgl. Häcker, H./Stapf, K. H., Webersches Gesetz, 1998, S. 943.